Mathematiker lösen ein altes Rätsel mit Zufall

Wer war Ronald Graham?

Ronald Graham ist heute tot. Er hatte zwei Rollen. Er war ein berühmter Mathematiker. Er war auch Präsident der American Mathematical Society. Und er war ein guter Jongleur. Er war auch Präsident der International Jugglers’ Association.

Fan Chung ist Mathematikerin an der University of California in San Diego. Sie war mit Graham verheiratet. Sie sagt: „Er liebte Tricks. Zum Beispiel einen Ball drehen, einen Kleiderbügel drehen, viele Bälle zusammen drehen oder Stifte gegen die Wand werfen."

Manchmal war Graham Mathematiker und Jongleur gleichzeitig. In einem Interview im Fernsehen im Jahr 1980 sagte er: „Viele Mathematiker und Informatiker interessieren sich für Jonglieren. Ich glaube, es ist die Suche nach Mustern und Strukturen."

Er hat viele Texte über die Mathematik des Jonglierens geschrieben. Einige Texte hat er zusammen mit Chung geschrieben. Aber schon im Jahr 1971 hat er eine Frage gestellt. Viele Mathematiker denken heute: Auch diese Frage kommt vielleicht vom Jonglieren.

Was ist Grahams Frage?

Man startet mit einer zufälligen Menge von verschiedenen Zahlen. Die Zahl Null ist nicht dabei. Kann man die Zahlen immer neu sortieren? Man addiert die ersten zwei Zahlen, dann die ersten drei Zahlen, dann die ersten vier Zahlen und so weiter. Jede Teilsumme soll anders sein.

In der Sprache des Jonglierens bedeutet das: Jeder Ball bleibt eine andere Zeit in der Luft. Kann man immer eine Reihenfolge zum Werfen finden? So fallen nicht zwei Bälle im gleichen Moment nach unten. Das würde die Show kaputt machen.

Wenn alle Zahlen positiv sind, ist die Antwort klar ja. Die Summen werden immer größer. Wenn positive und negative Zahlen zusammen da sind, ist die Antwort auch ja. Das weiß man schon.

Aber was passiert in einer endlichen Welt? Zum Beispiel bei Zahlen wie auf einer Uhr. Die Zahlen wiederholen sich nach einer bestimmten Zahl.

Das wollte Graham wissen. Er hat vermutet: Die Antwort ist auch dann ja. Oft findet man auch mit strengen Regeln genug Flexibilität. Man kann spezielle Muster bauen. So wie man oft ein gültiges Sudoku oder ein Lateinisches Quadrat finden kann, obwohl es viele Regeln gibt.

Noga Alon ist Mathematiker an der Princeton University. Er sagt: „Das passt gut zu Fragen über Designs und sehr symmetrische Strukturen." Aber viele Jahre konnte niemand beweisen, dass Grahams Idee richtig ist.

Das hat sich vor Kurzem geändert. Mehrere junge Mathematiker haben das Problem wieder aufgenommen. Sie haben Grahams Vermutung endlich gelöst. Der Beweis hat vier Texte und viele Bereiche der Mathematik gebraucht. Der letzte Text ist von Lisa Sauermann von der Universität Bonn und Huy Tuan Pham von der University of Chicago. Er ist im Februar 2026 erschienen. Damit ist das Problem offiziell gelöst.

In allen Texten gibt es ein wichtiges Thema: Zufall kann helfen, Muster zu finden. Alon sagt: „Es ist die Kraft der Zusammenarbeit, die Kraft der jungen Generation, die Kraft der probabilistischen Methoden", die das Problem gelöst hat.

Die Kaskade

Alp Müyesser ist Mathematiker an der University of Oxford. Er mag Probleme, deren Lösung zwei Dinge braucht: einen Zufallsprozess und noch etwas extra. Im Jahr 2022 hat er so ein Problem gelöst. Er war damals noch Student. Danach hat er Grahams Vermutung gesehen. Er hat gemerkt: Sein letzter Beweis kann auch hier helfen.

Die Vermutung spielt in der Welt der Uhren-Arithmetik. Man legt alle Zahlen auf eine Linie. Dann wickelt man die Linie um eine Uhr. Die Zahlen wiederholen sich nach einer Primzahl p. Zum Beispiel ist p = 7. Dann sind 0, 7, 14 und alle Vielfachen von 7 gleich. Man kann also zwei positive Zahlen wie 3 und 4 addieren und Null bekommen.

Graham hat gefragt: Wenn man eine Menge von Zahlen ungleich Null von dieser Linie nimmt (für jedes p), kann man sie immer so sortieren, dass alle Teilsummen verschieden sind?

Die Schwierigkeit hängt davon ab, wie groß die Menge im Vergleich zu p ist. Je mehr Zahlen man nimmt, desto mehr Summen muss man kontrollieren. Wenn man weniger Zahlen nimmt, gibt es weniger Möglichkeiten zum Sortieren. Diese verschiedenen Fälle brauchen verschiedene Methoden.

Müyesser hat zusammen mit seinem früheren Betreuer Alexey Pokrovskiy vom University College London gearbeitet. Sie haben den Fall untersucht, wo die Menge fast alle möglichen Zahlen bis p enthält. Bei so großen Mengen ist es sehr schwer, eine gültige Reihenfolge zu bauen. Aber sie haben gezeigt: Wenn man mit einer zufälligen Reihenfolge startet, kommt man schon sehr weit.

Informatiker nennen das oft „die Nadel im Heuhaufen finden".