KI löst ein Millennium-Problem der Mathematik

Die Beweise für eine "Explosion" haben die Mathematikerwelt aufgewühlt.

Am Morgen des Dienstags, den 8. September, gaben Mathematiker von OpenAI bekannt, dass eine Gruppe von 10.000 autonomen KI-Agenten unter ihrer Leitung, die auf einem fortschrittlichen Modell laufen, das der Öffentlichkeit nicht zugänglich ist, eine "Singularität" in den Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen gefunden hatten. Damit wurde eines der sechs verbliebenen Millennium-Preis-Probleme gelöst. Das Clay Mathematics Institute stellte diese Probleme im Jahr 2000 auf, und jedes hat einen Preis von einer Million Dollar. Ihr Ergebnis wurde formal in der Programmiersprache Lean überprüft, was Mathematiker zuversichtlich macht, dass es tatsächlich korrekt ist.

Wenn das Ergebnis weiteren Prüfungen standhält, ist es bei weitem der wichtigste mathematische Beweis, der bisher von einem KI-Modell gefunden wurde. Es könnte einen fundamentalen Wendepunkt darstellen, wie Mathematiker schwere Probleme angehen.

Dieses schwere Problem handelt von Differentialgleichungen. Diese drücken Beziehungen zwischen sich ändernden Größen aus. Sie sind wahrscheinlich das wichtigste mathematische Werkzeug, um die Welt um uns herum zu erklären. Normalerweise sind sie einfach aufzuschreiben und schwer zu lösen.

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind Differentialgleichungen, die das Newtonsche zweite Bewegungsgesetz verwenden, um zu beschreiben, wie Flüssigkeiten – von Meeresströmungen bis zu Luftströmungen – sich verhalten. Sie wurden erstmals in der Mitte des 19. Jahrhunderts aufgeschrieben und sind seitdem zentral für das Studium der Strömungsmechanik. Aber eine grundlegende Frage über die Gleichungen blieb: Sind ihre Lösungen immer gutartig? Oder können ihre Lösungen im Laufe der Zeit so entwickeln, dass ein infinitesimal kleiner Teil der Flüssigkeit unendlich schnell zu fließen beginnt und eine sogenannte Singularität erzeugt?

Die Ankündigung dieser lang gesuchten Singularität von OpenAI kam 12 Stunden nach einer Ankündigung von Tristan Buckmaster an der New York University. Er hatte zusammen mit Levent Alpöge bei Anthropic mehrere eng verwandte Probleme gelöst, mit Hilfe verschiedener KI-Modelle, einschließlich der von OpenAI.

Beide KI-unterstützten Teams stützten sich stark auf die Arbeit von Diego Córdoba am Institute for Mathematical Sciences in Madrid und Luis Martínez-Zoroa von der CUNEF University. Diese Forscher hatten eine Strategie entwickelt, um das Problem anzugreifen, die sich radikal von den Methoden der meisten Mathematiker unterschied.

"Ich war begeistert, dass das Problem gelöst wurde", sagte Charles Fefferman von der Princeton University. Er schrieb die offizielle Beschreibung des Navier-Stokes-Problems für das Clay Institute. Die Helden der Geschichte, sagte er, sind Córdoba und Martínez-Zoroa. Wie Buckmaster in einer Erklärung zu seinen Ergebnissen schrieb: "Lassen Sie mich deutlich sagen, was ich Kollegen privat gesagt habe: Angesichts dieser Arbeit glaube ich, dass Luis Martínez-Zoroa eine Fields-Medaille verdient."

Eine Singularität

Die Navier-Stokes-Gleichungen basieren auf der Annahme, dass man in eine Flüssigkeit hineinzoomen und immer kleinere Mengen betrachten kann. Die reale Welt ist nicht so: Flüssigkeiten bestehen letztlich aus Molekülen und Atomen. Sie sind nicht perfekt glatt. Das bedeutet, dass die mathematischen Ergebnisse über die Bildung von Singularitäten keine unmittelbaren praktischen Konsequenzen haben. Aber diese Ergebnisse sind wichtig, weil es überraschend ist, dass solche Singularitäten überhaupt in einem idealisierten Sinn möglich sind. Es sagt uns, dass die Folgen des Newtonschen zweiten Gesetzes, wenn es auf Flüssigkeiten angewendet wird, trotz seiner offensichtlichen Einfachheit tief gegenintuitiv sind. Mit anderen Worten: Turbulenz ist noch seltsamer, als sie erscheint.

Die Navier-Stokes-Gleichungen berücksichtigen die Tatsache, dass Flüssigkeiten Viskosität oder Reibung haben können. (Flüssigkeiten mit mehr Viskosität, wie Honig, fließen langsam, während solche mit weniger Viskosität, wie Wasser, schneller fließen.) Eine einfachere, verwandte Reihe von Gleichungen, die Eulergleichungen, beschreiben Flüssigkeiten mit null Viskosität, die ohne Reibung fließen. Die beiden Gleichungssätze sind eng verbunden – Forscher arbeiten oft parallel an beiden. Aber schon eine infinitesimale Menge an Reibung lässt eine Flüssigkeit sich profund anders verhalten.

Die Lösung von OpenAI ist ein Wirbel, der hier visualisiert ist, wobei Gelb eine schnellere Rotationsgeschwindigkeit und Blau eine langsamere darstellt.

"Vor zehn Jahren glaubte niemand, dass es für Navier-Stokes eine Singularität gibt", sagte Córdoba – obwohl viele glaubten, dass die Eulergleichungen eine Singularität zulassen. Das begann sich 2013 zu ändern, als Thomas Hou vom California Institute of Technology und Guo Luo, jetzt an der Hang Seng University of Hong Kong, bahnbrechende Ergebnisse ableiteten. Sie zeigten, dass die Eulergleichungen in einem Zylinder "explodieren" können, wenn die obere und untere Hälfte in entgegengesetzte Richtungen zum Drehen gebracht werden. "Das ist die erste wirklich ernsthafte Behauptung einer Singularität", erinnerte sich Córdoba. In den nächsten Jahren ließ eine Reihe von Ergebnissen, einschließlich eines Papiers aus dem Jahr 2019, Mathematiker darüber nachdenken, dass nicht nur die Eulergleichungen Singularitäten haben könnten, sondern vielleicht auch Navier-Stokes.

Es gibt einige intellektuelle Schritte, um von einer Singularität der Eulergleichungen zu einer der Navier-Stokes-Gleichungen zu gelangen. Die Eulergleichungen beschreiben Flüssigkeiten ohne Reibung. Die Navier-Stokes-Gleichungen fügen eine winzige Menge Reibung hinzu. Es stellte sich heraus, dass die Strategie von Córdoba und Martínez-Zoroa für das Studium von Eulergleichungen auch auf Navier-Stokes angewendet werden kann.