Quantenphysik und der Hilbertraum

Quantenobjekte haben mehrere mögliche Zukünfte, bevor man sie beobachtet. Der Hilbertraum erlaubt es Physikern, diese Möglichkeiten zu erforschen. Tommy Parker für Quanta Magazine

Im Zentrum der Quantenmechanik stehen ein paar wichtige Regeln. Die wichtigste Regel ist ungefähr: Man soll nicht über gewöhnliche Objekte nachdenken, die sich durch den normalen Raum bewegen. Stattdessen sagt die Quantenmechanik — sehr genau — alle möglichen Wege vorher, wie ein Objekt in der Zukunft sein könnte. Um diese möglichen Zukünfte zu erforschen, muss man ein ganz anderes mathematisches Objekt verfolgen — einen Pfeil, den man Vektor nennt. Dieser Pfeil zeigt in einem weiten, fremden Bereich.

Diese Pfeile zeigen nicht auf Orte. „Es ist ein viel abstrakterer Raum als das“, sagte Lucien Hardy, ein Physiker am Perimeter Institute for Theoretical Physics in Waterloo, Kanada. Sie zeigen „wirklich in eine Richtung in einem Möglichkeitssraum“.

Dieser Möglichkeitssraum heißt Hilbertraum. Er ist der Hauptbereich der Quantenphysik.

Die frühen Quantenpioniere wussten anfangs nicht — dass die komplizierte Mathematik, die das Verhalten von Atomen so gut beschrieb, die reale Welt hinter sich gelassen hatte. Es brauchte einen visionären mathematischen Physiker, John von Neumann, um die Quantenwelt als Hilbertraum zu erkennen und zu definieren. Als er das getan hatte, führte das Erforschen des Hilbertraums die Physiker zu einem tieferen, einheitlicheren Verständnis der Quantenphysik.

Hier ist, wie von Neumanns erstes Gebot der Quantenphysik entstand und wie man es versteht.

Was ist der Hilbertraum?

Von Neumanns Gebote oder Axiome waren seine Art, die zwei verschiedenen Formen der Quantenmechanik zu verstehen, die in den 1920er Jahren nacheinander entwickelt wurden. Zuerst kam Werners Heisenbergs „Matrizenmechanik“ im Jahr 1925. Sie benutzte unverständliche Tabellen und, in späteren Formulierungen, endlose Zahlenreihen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Elektron, das ein Atom umkreist, in einen höheren oder niedrigeren Orbit springt. Im nächsten Jahr führte Erwin Schrödinger seine „Wellenmechanik“ ein. Sie benutzte Wellen, um zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit zu verfolgen, dass ein Teilchen an einem bestimmten Ort im Raum gefunden wird. Obwohl die Bilder dieser beiden Physiker völlig unterschiedlich wirkten, lieferten sie identische Vorhersagen. Heisenberg und Schrödinger hatten zwei radikal unterschiedliche Ausprägungen einer Theorie entwickelt. Aber was war diese Theorie?

Diese Frage faszinierte David Hilbert, einen bekannten Mathematiker, der einen Großteils seines Lebens der Wiederherstellung der Physik auf einer stabilen Grundlage klarer Axiome gewidmet hatte. Er brachte von Neumann in den späten 1920er Jahren dazu, über das Problem nachzudenken. Im Jahr 1927 löste das 23-jährige Wunderkind — aufbauend auf Erkenntnissen von Paul Dirac — das Problem in einer dreiteiligen Autorarbeit.

Der Mathematiker David Hilbert suchte eine mathematische Struktur, die die verschiedenen Formen der Quantenmechanik vereinen würde. MacTutor

„Die Ideen waren speziell von Neumanns, aber die Inspiration — warum axiomatisiert man und wozu — das hat er von Hilbert übernommen“, sagte Leo Corry, ein Mathematikhistoriker.

Diese Arbeiten legten die Regeln für die Quantenmechanik fest und definierten sorgfältig die zentralen Objekte der Theorie und ihr Verhalten. Von Neumann zeigte, dass Heisenbergs Reihen und Schrödinger Wellen dieselbe Entität widerspiegeln, so wie 0,5 und ½ denselben Punkt auf der Zahlengeraden anzeigen. Sie repräsentierten beide die Hauptfigur in der Quantenmechanik: den Quantenzustand.

Alles hat einen Zustand. Eine Münze kann Kopf oder Zahl zeigen. Das Pendel einer Großuhr kann während des Schwingens eine beliebige Anzahl von Positionen einnehmen. Der größte Teil der Physik besteht darin, den Zustand eines Objekts zu erfassen und vorherzusagen, wie er sich ändern wird.

Von Neumanns Quantenregeln erschweren den Begriff eines Zustands. Bevor man ein Quantenobjekt beobachtet, hat es keine festen Eigenschaften, wie zum Beispiel eine bestimmte Stattdessen hat es eine Kombination von möglichen Eigenschaften, die einzigartig für die Quantenmechanik ist — eine „Quantenüberlagerung“. Eine Überlagerung kombiniert zum Beispiel alle möglichen Orte, an denen das Teilchen sein könnte. Diese Möglichkeiten können präzise und informativ sein; vielleicht gibt es eine 99%ige Chance, dass man das Teilchen links findet, und eine 1%ige Chance, dass man es rechts findet. Man weiß, wie man setzt, aber man kann nicht sicher wissen, ob man gewonnen hat, bis man nachschaut.

Von Neumann stellte den Quantenzustand als einen mathematischen Pfeil dar, den man Vektor nennt. Dieser Pfeil zeigt in irgendeine Richtung durch einen Raum, der alle möglichen Zukünfte eines jeden Quantenobjekts erfasst — einen Hilbertraum.

Stellen Sie sich eine Quantenampel mit drei möglichen Zuständen vor — rot, gelb oder grün. Ihr Pfeil existiert in einem dreidimensionalen Hilbertraum, wobei die drei Achsen die drei möglichen zukünftigen Farben darstellen. Bis zum Moment, in dem die Ampel beobachtet wird, hat sie keine Farbe, sondern eine Mischung aus möglichen Farben. Also zeigt ihr Pfeil in den zentralen Bereich des Raums. Je mehr sich der Pfeil zum Beispiel an der roten Achse ausrichtet, desto wahrscheinlicher ist es, dass die Ampel rot leuchtet.

Mark Belan/ Quanta Magazine

Der Zustand jedes Objekts, von einem Elektron bis zu einer Galaxie, kann durch einen solchen Vektor erfasst werden, der in irgendeine Richtung durch einen solchen Hilbertraum zeigt. Das ist von Neumanns erste Regel der Quantenmechanik.

Was passiert im Hilbertraum?

Ein Pfeil bewegt sich auf eine von zwei Arten durch den Hilbertraum. Von Neumanns andere Gebote spezifizieren, wie.

Die erste Möglichkeit entspricht dem, was vorher passiert,