Versteckte Verbindungen zeigen eine tiefere Struktur im Universum der Mathematik. Unser Autor erklärt eine dieser Verbindungen und fragt Mathematiker, was sie bedeuten könnte.

Das Universum der Mathematik ist sehr groß

Das Universum der Mathematik ist ohne Grenzen und sehr verschieden. Auf der einen Seite gibt es Wahrheiten über Zahlen und Gleichungen. Auf der anderen Seite gibt es die Logik von Formen und Räumen. Und wieder woanders gibt es das Studium von Veränderung und Wahrscheinlichkeit.

Diese Bereiche sind über viele Jahrhunderte organisch gewachsen. Jeder Bereich hat seine eigenen Objekte, seine eigenen Methoden und seine eigenen Fragen. Deshalb ist es so überraschend, wenn man direkte Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik findet. Diese Verbindungen sind wie Wurmlöcher, die weit entfernte Galaxien verbinden.

Die Wurmlöcher heißen Langlands-Korrespondenzen. Hunderte Mathematiker arbeiten seit Jahrzehnten daran. Sie wollen diese Korrespondenzen erweitern und nutzen. Diese lange Arbeit ist das Langlands-Programm. Weil es eine Einheit im Universum der mathematischen Wahrheiten zeigt, nennt man das Langlands-Programm auch "große vereinheitlichte Theorie der Mathematik".

Viele Mathematiker verstehen das Programm nicht gut

Aber selbst die meisten Mathematiker wissen nicht genau, was sie davon halten sollen. Der Autor hat mehrere Experten gefragt, die mit dem Langlands-Programm arbeiten. Er hat gefragt: Versteht ein normaler Teilnehmer beim Internationalen Kongress der Mathematiker das Programm gut? Oder hat er keine Idee, was es ist?

David Ben-Zvi ist Mathematiker an der University of Texas in Austin. Er forscht zur geometrischen Langlands-Korrespondenz. Er sagt: "Ich denke eher das Zweite als das Erste." Das war die typische Antwort. Er sagt auch: "Jeder hat sicher schon davon gehört."

Selbst unter Experten klingen Beschreibungen des Langlands-Programms sehr verschieden. Eine Person sagt: Es geht um "unerwartete Symmetrien". Eine andere Person sagt: Es sind "Brücken zwischen zwei Bereichen der Mathematik". Eine weitere Person sagt: Es ist "die beste Vision, die wir haben, um nicht-abelsche Versionen der Fourier-Theorie zu verstehen". Der Autor will diesen letzten Satz später erklären, weil er vielleicht die tiefste Erklärung ist, die es bisher gibt.

Manche Experten sprechen auch vom Gleichnis von den blinden Männern und dem Elefanten. Das Programm hat so viele Aspekte, Ecken und Folgen, dass es schwer zu interpretieren ist. Mathematiker mögen Interpretationen sowieso nicht so sehr, weil alles, was sie sagen, noch nicht bewiesen ist. Eine andere Schwierigkeit ist: Das Langlands-Programm ist sehr groß und vereinheitlichend. Aber die mathematischen Korrespondenzen selbst sind sehr spezifisch und sehr speziell.

Hier versucht der Autor, als jemand, der seit Jahren über Mathematik und Physik berichtet, das Langlands-Programm zu erklären. Er erklärt es von den Anfängen bis zur heutigen Form. Es ist ein mathematisches Projekt ohne Beispiel. Er will auch zeigen, was diese Verbindungen bedeuten. Das ist nicht leicht, weil Mathematiker die tiefste Bedeutung des Langlands-Programms noch nicht gefunden haben. Diese unklare Botschaft betrifft scheinbar nicht nur das mathematische Universum, sondern auch das physikalische Universum.

Robert Langlands startet das Programm im Jahr 1967

Robert Langlands ist ein kanadischer Mathematiker. Er ist heute über 80 Jahre alt. Er arbeitet am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. Dort hat er das Büro, das früher Albert Einstein hatte. Er hat das Programm gestartet, das heute seinen Namen trägt. Das war im Jahr 1967.

In einem Brief an einen Kollegen hat er eine Verbindung zwischen weit entfernten Bereichen der Mathematik bemerkt. Es war die Verbindung zwischen Zahlentheorie und harmonischer Analysis. Harmonische Analysis ist das Studium von Signalen und Wellen. Von dort aus hat Langlands die Existenz einer Familie von Korrespondenzen vermutet. Diese Korrespondenzen verbinden Objekte, Symmetrien und Eigenschaften.

Was ist das erste Langlands-Wurmloch?

Um das erste Langlands-Wurmloch zu verstehen, können wir mit einer Sammlung von Zahlen beginnen. Diese Sammlung heißt $\mathbb{Q}$. $\mathbb{Q}$ ist die Menge aller rationalen Zahlen. Das sind Zahlen, die man als Bruch schreiben kann. Zum Beispiel 1, oder $\frac{5}{16}$, oder $-5,3277$.

Diese Zahlen bilden eine spezielle Art von Menge. Man nennt sie einen Zahlkörper. Warum? Wenn man rationale Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert (außer Division durch Null), bekommt man wieder eine Zahl in derselben Menge.

Im Jahr 1967 hat Robert Langlands die erste überraschende Korrespondenz des großen Projekts gezeigt, das heute seinen Namen trägt. Foto: Dan Komoda / Institute for Advanced Study

Aber die Dinge ändern sich, wenn man eine Polynom-Gleichung einführt. Zum Beispiel $x^{2} - 2 = 0$. Auch wenn diese Gleichungen nur rationale Zahlen in ihren Teilen haben, liegen die Lösungen oft außerhalb von $\mathbb{Q}$. Die Lösungen sind die Werte für $x$, die die Gleichung wahr machen.

Unsere einfache Gleichung hat zum Beispiel die Lösungen $x = \sqrt{2}$ und $x = -\sqrt{2}$. Diese Zahlen sind irrational. Ihre Ziffern beginnen mit $1,41421...$ und gehen für immer weiter, ohne sich zu wiederholen.

Mathematiker haben herausgefunden, dass sie diese Lösungen nutzen können, um $\mathbb{Q}$ zu erweitern. Wir können einen neuen Körper machen: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Wir fügen zu $\mathbb{Q}$ die irrationalen Zahlen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ hinzu. Wir fügen auch alle irrationalen Zahlen hinzu, die man durch Rechnen mit diesen Lösungen und anderen Zahlen im Körper bekommen kann.

Jede Zahl mit der Form $a + b\sqrt{2}$ (für rationale Zahlen $a$ und $b$) ist in diesem Körper. Zum Beispiel $5 + 3\sqrt{2}$ oder $-\frac{\sqrt{2}}{7}$.

Man kann sich das so vorstellen: Die möglichen Werte für $a$ sind eine horizontale Zahlenlinie. Die möglichen Werte für $b$ sind eine vertikale Zahlenlinie. Dann spannt der Zahlkörper $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ die ganze Ebene auf.

Symmetrien und warum sie wichtig sind

Wichtig ist: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ hat eine "Symmetrie". Das ist eine Transformation, die die Struktur des Körpers nicht ändert. Diese Symmetrie tauscht $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$. Wenn man $\sqrt{2}$ durch $-\sqrt{2}$ ersetzt, bleibt die Arithmetik im Körper gleich. Das ist eine einfache Symmetrie, aber sie ist sehr wichtig für das Langlands-Programm.

Diese Idee der Symmetrie ist zentral. In der Mathematik studiert man nicht nur Objekte, sondern auch ihre Symmetrien. Die Symmetrien von Zahlkörpern hängen mit der Zahlentheorie zusammen. Auf der anderen Seite steht die harmonische Analysis. Dort studiert man Wellen, Signale und periodische Funktionen. Die Fourier-Theorie ist ein wichtiges Werkzeug dort. Sie zerlegt komplizierte Wellen in einfache Wellen.

Langlands hat vermutet, dass es eine tiefe Korrespondenz zwischen diesen zwei Welten gibt. Auf der einen Seite sind die Symmetrien von Zahlkörpern und Gleichungen. Auf der anderen Seite sind Objekte aus der harmonischen Analysis, zum Beispiel automorphe Formen. Automorphe Formen sind spezielle Funktionen mit vielen Symmetrien. Sie sind wie Wellen mit besonderen Eigenschaften.

Die Korrespondenz sagt: Zu jeder Symmetrie-Struktur auf der Zahlenseite gehört eine passende Wellen-Struktur auf der Analysis-Seite. Und umgekehrt. Eigenschaften auf der einen Seite entsprechen Eigenschaften auf der anderen Seite. Das ist wie ein Wörterbuch zwischen zwei verschiedenen Sprachen der Mathematik.

Warum ist das Programm so wichtig und so schwer?

Das Langlands-Programm ist deshalb so faszinierend, weil es Einheit zeigt. Es zeigt, dass Bereiche, die sehr verschieden aussehen, in Wahrheit verbunden sind. Es ist wie ein Wurmloch zwischen fernen Galaxien. Man kann Probleme aus der Zahlentheorie nehmen und sie mit Methoden aus der Analysis lösen. Oder umgekehrt.

Gleichzeitig ist das Programm sehr schwer. Die Korrespondenzen sind extrem spezifisch und technisch. Man braucht viele Jahre Studium, um nur eine Korrespondenz zu verstehen. Deshalb kennen viele Mathematiker nur den Namen, aber nicht die Details. Selbst Experten verstehen nur einen kleinen Teil des ganzen Programms.

Der Autor sagt: Das Programm hat noch eine tiefere Bedeutung, die wir noch nicht verstehen. Vielleicht sagt es etwas über die Natur der Mathematik selbst. Und vielleicht sagt es auch etwas über die physikalische Welt. Denn auch in der Physik gibt es Symmetrien, Wellen und tiefe Strukturen. Die Verbindung zwischen Mathematik und Physik ist noch ein offenes Rätsel.

Heute arbeiten Hunderte Mathematiker weiter am Langlands-Programm. Sie beweisen neue Fälle der Korrespondenzen. Sie erweitern das Programm auf neue Bereiche, zum Beispiel auf die geometrische Langlands-Korrespondenz. Diese geometrische Version verbindet Geometrie und Darstellungstheorie. Sie ist ein großes Thema der aktuellen Forschung.

Das Programm ist also nicht fertig. Es wächst immer noch. Es begann mit einem Brief im Jahr 1967. Heute ist es eines der größten und wichtigsten Projekte in der modernen Mathematik.