Student beweist neues Quanten-Prinzip für Fraktale

Ada Zejun Shen / Quanta Magazine

Im sehr kleinen Quanten-Bereich verhalten sich winzige Teilchen sehr seltsam. Ein Grund dafür ist das Unschärfe-Prinzip. Dieses Prinzip sagt: Je mehr du weißt, wo ein Quanten-Teilchen ist, desto weniger weißt du, wie schnell es sich bewegt. Und umgekehrt. Vor kurzem gibt es für diese Regel ein seltenes Update.

Das neue Unschärfe-Prinzip hat mit Fraktalen zu tun. Fraktale sind Formen, die immer gleich komplex bleiben, egal wie stark man in sie hineinzoomt.

Vor etwa zehn Jahren arbeitet Semyon Dyatlov am Massachusetts Institute of Technology (MIT). Er ist Mathematiker. Er will wissen: Verhalten sich Quanten-Teilchen anders als normale Teilchen, wenn beide in der gleichen chaotischen Situation sind? Manchmal bewegt sich ein Objekt chaotisch und wird gefangen. Dann folgt es für immer einem Weg, der wie ein Fraktal aussieht. Können Quanten-Teilchen das auch?

Quanten-Teilchen breiten sich wie Wellen aus. Deshalb ist ihr genauer Ort nicht klar, er ist verschwommen. Dyatlov will wissen: Sind Quanten-Teilchen zu verschwommen für diese komplizierten gefangenen Wege? Dafür braucht er ein neues Unschärfe-Prinzip. Es muss mit Fraktalen funktionieren.

Im Jahr 2016 beweist Dyatlov zusammen mit Jean Bourgain das Fraktal-Unschärfe-Prinzip für Fraktale in einer Dimension. Jean Bourgain gibt wichtige Ideen für den Beweis. Er ist ein sehr bekannter Mathematiker. Er stirbt kurz nach dieser Arbeit. Die eindimensionalen Fraktale sehen wie zackige Linien aus. Diese Linien können Wege zeigen, die Objekte in zwei Dimensionen nehmen. Zum Beispiel Bälle, die auf einem Billardtisch laufen.

Im Herbst desselben Jahres organisieren Dyatlov und Bourgain einen Workshop in New Jersey. Sie laden Mathematiker aus der ganzen Welt ein. Sie hoffen, den Beweis auf höhere Dimensionen zu erweitern. Ein erweiterter Beweis könnte man für die dreidimensionale Welt benutzen. Er könnte auch ein universelles mathematisches Werkzeug werden.

Aber die Aufgabe ist zu schwer. Am Ende des Workshops glaubt fast niemand mehr, dass es möglich ist. Das sagt Frédéric Naud. Er ist Mathematiker an der Sorbonne University und war Teilnehmer des Workshops. Er sagt: „Niemand hat wirklich geglaubt, dass man es schaffen kann."

Erst Jahre später schafft Alex Cohen den Durchbruch. Er ist zu dieser Zeit Doktorand am MIT. Er veröffentlicht einen Artikel im Jahr 2025 in der Zeitschrift Annals of Mathematics. Diese Zeitschrift gilt als die beste Zeitschrift in der Mathematik. In dem Artikel erweitert er das Fraktal-Unschärfe-Prinzip auf alle höheren Dimensionen. Das Ergebnis wird Cohens Doktorarbeit. Er bekommt damit eine Stelle als Assistenz-Professor an der New York University. Er ist zu diesem Zeitpunkt erst 25 Jahre alt.

Peter Sarnak arbeitet am Institute for Advanced Study. Er sagt über das Fraktal-Unschärfe-Prinzip: „Es ist ein grundlegendes Ergebnis“ und „eine ziemlich bemerkenswerte Leistung für jemanden in seiner Doktorarbeit."

Schon jetzt zeigt dieses Prinzip etwas Neues und Wichtiges: Quanten-Teilchen unterscheiden sich auf eine tiefe Art von klassischen Teilchen.

Flipper und Unschärfe

Das Unschärfe-Prinzip wirkt bei Teilchen sehr seltsam. Aber es gibt auch weniger geheimnisvolle Beispiele. Je kürzer ein Ton ist, desto weniger sicher kann man sagen, welche Töne in ihm stecken. Ein kurzes Radar-Signal kann ein U-Boot genau finden. Aber man braucht ein längeres Signal, um zu wissen, wohin sich das U-Boot bewegt.

Alle diese Unschärfe-Prinzipien, auch das der Quantenphysik, haben die gleiche mathematische Quelle. Das tiefere mathematische Unschärfe-Prinzip gilt für jede Funktion. Eine Funktion ist grob gesagt jede Kurve, egal wie wellig und wild sie aussieht. Dieses Prinzip kommt von einer Gleichung aus dem 19. Jahrhundert. Sie heißt Fourier-Transformation. Sie hat ihren Namen von dem Franzosen Joseph Fourier. Die Fourier-Transformation zerlegt jede Funktion in einfache Wellen. Jede einfache Welle hat eine andere Frequenz, also einen anderen Ton. Wenn man alle diese einfachen Wellen addiert, bekommt man die ursprüngliche Funktion wieder.

Mark Belan / Quanta Magazine

Das Unschärfe-Prinzip ist dort schon eingebaut. Eine einfache Sinus-Welle breitet sich unendlich im Raum aus. Sie hat nur eine einzige Frequenz. Deshalb ist ihre Fourier-Transformation nur ein einzelner Peak, also ein einzelner hoher Punkt. Aber der Schlag auf eine kleine Trommel sieht aus wie ein kurzer Impuls, wenn er durch die Luft läuft. Seine Fourier-Transformation hat viele verschiedene Frequenzen. Deshalb hat der Ton keine klare Tonhöhe.

Generell gilt: Je schmaler eine Funktion ist, desto breiter ist ihre Fourier-Transformation. Und umgekehrt. Mit anderen Worten: Je sicherer du bist, wo eine Funktion im Raum ihren höchsten Punkt hat, desto weniger sicher kannst du bei ihrer Frequenz sein. Du weißt dann weniger, wie sie sich mit der Zeit verändert.

In der Quantenmechanik beschreibt man ein Teilchen mathematisch als Welle. Die Welle hat dort Peaks, wo man das Teilchen mit hoher Wahrscheinlichkeit findet. Die Fourier-Transformation dieser Welle beschreibt die Bewegung des Teilchens. Deshalb kann man Ort und Impuls, also Position und Bewegung, eines Quanten-Teilchens nicht gleichzeitig genau kennen. Die beiden hängen über eine Fourier-Transformation zusammen.

Aber was passiert, wenn man die Fourier-Transformation von einer Funktion macht, die wie ein Fraktal aussieht?

Um diese Frage zu verstehen, hilft ein einfaches Beispiel für ein Fraktal: Man beginnt mit einer Linie. Man teilt sie in drei gleiche Teile. Dann löscht man das mittlere Stück. Diesen Prozess wiederholt man immer wieder. Man teilt jedes übrige Stück wieder in drei Teile und entfernt das mittlere Stück, und so weiter. Das Ergebnis ist eine fraktale Menge mit dem Namen Cantor-Menge. Diese Menge hat eine besondere Eigenschaft. Mathematiker nennen sie porös. Das bedeutet: Sie ist voller Löcher, wie ein Schwamm, und das auf jeder Skala, also bei jedem Zoom.